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“行走于V家世界(..)”!
本文来源于知乎用户“某71”,已获得授权。
————以下是正文————
Zermelo-Fraenkel集理论公理
(从过渡性ZFC模型重定向)
Zermelo-Frankel集理论与选择公理(ZFC)是集合理论家使用公理的标准集合。用于表达每个公理的正式语言是一阶的,具有平等性(==)和一个二进制关系符号,∈∈,意在表示集合成员资格。零集公理和分离模式被后来更具包容性的公理所取代。
公理
扩展性
集合由其元素唯一确定。这正式表示为
?x?y(?z(z∈xz∈y)→x=y).?x?y(?z(z∈xz∈y)→x=y).
“→→”可以替换为“”,但是←←方向是一个逻辑定理。或者,可延伸性公理可以作为平等的定义,也可以用它来代替它:
?x?y(?a(a∈xa∈y)→?b(x∈by∈b))?x?y(?a(a∈xa∈y)→?b(x∈by∈b))
意味着具有相同元素的集合属于相同的集合。
空集
有一些集合。事实上,有一套没有成员。这是正式表达的
?x?y(y?x).?x?y(y?x).
这样一个x按扩展性是唯一的,此集合表示为??。
配对
对于任何两套xx和yy(不一定不同)还有一套zz谁的成员正是布景?xx和yy。
?x?y?z?w(w∈z(w=x∨w=y)).?x?y?z?w(w∈z(w=x∨w=y)).
这样一个z因扩展性而独一无二,并表示为{x,y}{x,y}。
工会
对于任何一套xx还有一套yy其成员正是所有成员xx。也就是说,集合的所有成员的联盟都存在。这正式表示为
?x?y?z(z∈y?w(w∈x∧z∈w)).?x?y?z(z∈y?w(w∈x∧z∈w)).
这样一个y因扩展性而独一无二,并被写成y=?xy=?x。
基础(或规律性)
每套非空集x成员与x,确保任何集合都不能直接或间接包含自己。这正式表示为
?x≠??y∈x??z(z∈x∧z∈y).?x≠??y∈x??z(z∈x∧z∈y).
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